MOL = λ . MO = λ . (r x F)
lo cual demuestra que el momento MOL de F con respecto al eje OL es el escalar que se obtiene formando el producto triple escalar de λ, r y F.
sábado, 21 de marzo de 2009
Momento de una fuerza con respecto a un eje dado
Considérese la fuerza F que actúa sobre un cuerpo rígido y el momento Mo de dicha fuerza con respecto a O (figura 3.27). Sea OL un eje a través de O; el momento MOL de F con respecto a OL se define como la proyección OC del momento Mo sobre el eje OL. Representando el vector unitario a lo largo de OL como λ, se tiene
viernes, 20 de marzo de 2009
Problema 3.23
P 3.23
Antes de colocar un cable telefónico, la cuerda BAC se ata a una estaca situada en B y se pasa por una polea en A. Si el tramo AC de la cuerda pertenece al plano paralelo xy, y la magnitud de la tensión T en la cuerda es de 62 lb, determine el momento respecto a O de la fuerza resultante ejercida por la cuerda sobre la polea.
T = 62 lb
MO = rA/O X F
rA/O = 0 i + (30 ft) j + (3 ft) k
TAB = 62 lb (λ AB)
λAB = AB/|AB| = (5 ft) i + (-30 ft) j + (6 ft) k/ √(5)² + (-30)² + (6)²
= (5 ft) i/31 , (-30 ft) j/31 , (6 ft) k/31 = (0.16129) i - (0.9677) j + (0.193548) k x 62 lb
TAB = (10 lb) i - (60 lb) j + (12 lb) k
TAC = (-62 lb) cos 10º - (62 lb) sen 10º = (-61.058 lb) i + (-10.766 lb) j
R = TAB + TAC
Rx = (-51.058 lb) i
Ry = (-70.766 lb) j
Rz = (12 lb) k
Momento con respecto a O de la fuerza resultante
MOX = (30 ft x 12 lb) i + (3 ft x -70.766 lb) -i = 360 lb.ft + 212.3 lb.ft
MOX = (572.3 lb.ft) i
MOY = (3 ft x -51.050 lb) j
MOY = (-153.174 lb.ft) j
MOZ = (30 ft x -51.058 lb) -k
MOZ = (1 531.68 lb.ft) k
Antes de colocar un cable telefónico, la cuerda BAC se ata a una estaca situada en B y se pasa por una polea en A. Si el tramo AC de la cuerda pertenece al plano paralelo xy, y la magnitud de la tensión T en la cuerda es de 62 lb, determine el momento respecto a O de la fuerza resultante ejercida por la cuerda sobre la polea.
T = 62 lb
MO = rA/O X F
rA/O = 0 i + (30 ft) j + (3 ft) k
TAB = 62 lb (λ AB)
λAB = AB/|AB| = (5 ft) i + (-30 ft) j + (6 ft) k/ √(5)² + (-30)² + (6)²
= (5 ft) i/31 , (-30 ft) j/31 , (6 ft) k/31 = (0.16129) i - (0.9677) j + (0.193548) k x 62 lb
TAB = (10 lb) i - (60 lb) j + (12 lb) k
TAC = (-62 lb) cos 10º - (62 lb) sen 10º = (-61.058 lb) i + (-10.766 lb) j
R = TAB + TAC
Rx = (-51.058 lb) i
Ry = (-70.766 lb) j
Rz = (12 lb) k
Momento con respecto a O de la fuerza resultante
MOX = (30 ft x 12 lb) i + (3 ft x -70.766 lb) -i = 360 lb.ft + 212.3 lb.ft
MOX = (572.3 lb.ft) i
MOY = (3 ft x -51.050 lb) j
MOY = (-153.174 lb.ft) j
MOZ = (30 ft x -51.058 lb) -k
MOZ = (1 531.68 lb.ft) k
sábado, 7 de marzo de 2009
Ejercicio 3.3
P 3.3
Una fuerza P de 3 lb se aplica a una palanca que controla la barrena de una barredora de nieve. Determine el momento de P respecto a A cuando α es igual a 30º.
---------------------------------
Px = 3 cos (240º) = (-1.5 lb) i
Py = 3 sen (240º) = (-2.598 lb) j
c = √(4.8)² + (3.4)²
c = 5.88 in.
MA = (-3.4 in) (-2.59 lb) k - (4.8 in) (-1.5 lb) k
MA = (+ 8.833 + 7.2) k
MA = 16.0332 lb. in
Una fuerza P de 3 lb se aplica a una palanca que controla la barrena de una barredora de nieve. Determine el momento de P respecto a A cuando α es igual a 30º.
---------------------------------
Px = 3 cos (240º) = (-1.5 lb) i
Py = 3 sen (240º) = (-2.598 lb) j
c = √(4.8)² + (3.4)²
c = 5.88 in.
MA = (-3.4 in) (-2.59 lb) k - (4.8 in) (-1.5 lb) k
MA = (+ 8.833 + 7.2) k
MA = 16.0332 lb. in
Componentes rectangulares del momento de una fuerza
En general, la determinación del momento de una fuerza en el espacio se simplifica en forma considerable si el vector de fuerza y el vector de posición a partir de su punto de aplicación se descomponen en sus componentes rectangulares x, y y z. Por ejemplo, considere el momento Mo con respecto a O de una fuerza F con componentes Fx, Fy y Fz que está aplicada en el punto A de cooredenads x, y y z (figura 3.15).
Se observa que las componentes del vector de posición r son iguales, respectivamente, a las cooredenadas x, y y z del punto A, se escribe
Se observa que las componentes del vector de posición r son iguales, respectivamente, a las cooredenadas x, y y z del punto A, se escribe
r = xi + yj + zk -----> (3.15)
F = Fxi + Fyj + Fzk ------> (3.16)
Al sustituir a r y a F a partir de (3.15) y (3.16) en
Mo = r X F
se puede escribir el momento Mo de F con respecto a O de la siguiente forma
Mo = Mxi + Myj + Mzk
donde las componentes escalares Mx, My y Mz están definidas por las relaciones
Mx = yFz - zFy
My = zFx - xFz
Mz = xFy - yFx
Teorema de varignon
La propiedad distributiva de los productos vectoriales se puede emplear para determinar el momento de la resultante de varias fuerzas concurrentes. Si las fuerzas F1, F2,... se aplican en el mismo punto A(figura 3.14) y si representa por r al vector de posición A, a partir de la ecuación "P x (Q1 + Q2) = P x Q1 + P x Q2", se puede concluir que
r = x (F1 + F2 + ...) = r x F1 + F2 + ...
Esto es, el momento con respecto a un punto dado O de la resultante de varias fuerzas concurrentes es igual a la suma de los momentos de las distintas fuerzas con respecto al mismo punto O.
Momento de una fuerza con respecto a un punto
Considere una fuerza F que actúa sobre un cuerpo rígido (figura 3.12a).
Como se sabe, la fuerza F está representada por un vector que define la magnitud y su dirección. Sin embargo, el efecto de la fuerza sobre el cuerpo rígido tambien depende de su punto de aplicación A. La posición de A puede definirse de manera conveniente por medio del vector r que une al punto de referencia fijo O con A; a este vector se le conoce como el vector de posición de A. El vector de posición r y la fuerza F definen el plano mostrado en la figura 3.12a.
El momento de F con respecto a O se define como el producto vectorial de r y F:
Como se sabe, la fuerza F está representada por un vector que define la magnitud y su dirección. Sin embargo, el efecto de la fuerza sobre el cuerpo rígido tambien depende de su punto de aplicación A. La posición de A puede definirse de manera conveniente por medio del vector r que une al punto de referencia fijo O con A; a este vector se le conoce como el vector de posición de A. El vector de posición r y la fuerza F definen el plano mostrado en la figura 3.12a.
El momento de F con respecto a O se define como el producto vectorial de r y F:
MO = r xF
Si se representa con θ el ángulo entre las líneas de acción de r y F, se encuentra que la magnitud del momento de F con respecto a O puede expresarse como
donde d representa la distancia perpendicular desde O hasta la línea de acción de F.
El sentido de Mo está definido por el sentido de la rotación que haría al vector r colineal con el vector F; un observador localizado en el extremo de Mo ve a esta rotación como una rotación en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj. Otra forma de definir el sentido de Mo se logre por medio de la regla de la mano derecha (figura 3.12b).
La magnitud de MO mide la tendencia de la fuerza F a hacer rotar al cuerpo rígido alrededor de un eje fijo dirigido a lo largo de MO.
Ejemplo:
En el sistema de unidades de SI, donde la fuerza se expresa en newtons (N) y la distancia se expresa en metros (m), el momento de una fuerza estará expresado en newtons-metro (N . m).
Mientras que en el sistema de unidadedes ingles será lb . ft (libras por pie).
Si se representa con θ el ángulo entre las líneas de acción de r y F, se encuentra que la magnitud del momento de F con respecto a O puede expresarse como
MO = rF sen θ = Fd
donde d representa la distancia perpendicular desde O hasta la línea de acción de F.
El sentido de Mo está definido por el sentido de la rotación que haría al vector r colineal con el vector F; un observador localizado en el extremo de Mo ve a esta rotación como una rotación en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj. Otra forma de definir el sentido de Mo se logre por medio de la regla de la mano derecha (figura 3.12b).
La magnitud de MO mide la tendencia de la fuerza F a hacer rotar al cuerpo rígido alrededor de un eje fijo dirigido a lo largo de MO.
Ejemplo:
En el sistema de unidades de SI, donde la fuerza se expresa en newtons (N) y la distancia se expresa en metros (m), el momento de una fuerza estará expresado en newtons-metro (N . m).
Mientras que en el sistema de unidadedes ingles será lb . ft (libras por pie).
Productos vectoriales expresados en términos de sus componentes
Considérese el producto i x j (figura 3.10a) Como ambos vectores tiene una magnitud igual a 1 y dado que éstos forman ángulos rectos entre sí, su producto vectorial tambien deberá ser un vector unitario. Dicho vector unitario debe ser k, puesto que los vectores i, j y k son mutuamente perpendiculares y forman una tríada a mano derecha. Por otra parte, a partir de la regla de la mano derecha, se concluye que el producto j x i debe ser igual -k (figura 3.10b).
Por último se debe observar que el producto vectorial de un vector consigo mismo, como i x i, es igual a cero debido a que ambos vectores tienen la misma dirección. Los productos vectoriales para los diversos pares posibles de vectores unitarios son
Si se ordenan las tres letras que representan a los vectores unitarios en un círculo en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj (figura 3.11) se puede determinar facilmente el signo del producto vectorial de dos vectores unitarios: el producto de dos vectores unitarios será positivo si éstos se siguen uno a otro en un oreden contrario al movimiento de las manecillas del reloj y será negativo si éstos se siguen uno al otro en un oreden en el sentido de las manecillas del reloj.
Ahora se puede expresar fácilmente el producto vectorial V de dos vectores P y Q en términos de las componentes rectangulares de dichos vectores. Al descomponer P y Q en sus componentes rectangulares, primero se escribe
Por último se debe observar que el producto vectorial de un vector consigo mismo, como i x i, es igual a cero debido a que ambos vectores tienen la misma dirección. Los productos vectoriales para los diversos pares posibles de vectores unitarios son
Si se ordenan las tres letras que representan a los vectores unitarios en un círculo en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj (figura 3.11) se puede determinar facilmente el signo del producto vectorial de dos vectores unitarios: el producto de dos vectores unitarios será positivo si éstos se siguen uno a otro en un oreden contrario al movimiento de las manecillas del reloj y será negativo si éstos se siguen uno al otro en un oreden en el sentido de las manecillas del reloj.
Ahora se puede expresar fácilmente el producto vectorial V de dos vectores P y Q en términos de las componentes rectangulares de dichos vectores. Al descomponer P y Q en sus componentes rectangulares, primero se escribe
V = P x Q = (Pxi + Pyj + Pzk) x (Qxi + Qyj + Qzk)
Despues al factorizar a i, j y k, se obtiene
V = (PyQz - PzQy) i + (PzQx - PxQz) j + (PxQy - PyQx) k
viernes, 6 de marzo de 2009
Producto vectorial de dos vectores
El producto vectorial de los vectores P y Q se define como el vector V que satisface las siguientes condiciones.
1. La línea de acción de V es perpendicular al plano que contiene a P y Q (figura 3.6a).
2. La magnitud de V es el producto de las magnitudes de P y Q por el seno del ángulo formado po P y Q (cuya medida siempre deberá ser menor o igual a 180º); por tanto, se tiene
1. La línea de acción de V es perpendicular al plano que contiene a P y Q (figura 3.6a).
2. La magnitud de V es el producto de las magnitudes de P y Q por el seno del ángulo formado po P y Q (cuya medida siempre deberá ser menor o igual a 180º); por tanto, se tiene
V = PQ sen θ
3. La dirección de V se obtiene a partir de la regla de la mano derecha. Cierre su mano derecha y manténgala de manera que sus dedos estén doblados en el primer sentido que la rotación a través del ángulo θ que haría al vector P colineal con el vector Q; entonces, su dedo pulgar indicará la dirección del vector V (figura 3.6b). Observese que si P y Q no tienen un punto de aplicación común, estos primeros se deben volver a dibujar y V -tomados en ese orden- forman una triada a mano derecha.
El vector V que satisface estas tres condiciones (las cuales lo definen en forma única) se conoce como el producto vectorial de P y Q y se representaa por la expresión matemática
El vector V que satisface estas tres condiciones (las cuales lo definen en forma única) se conoce como el producto vectorial de P y Q y se representaa por la expresión matemática
V = P X Q
Q X P no es igual a P X Q. De hecho, se puede verificar facilmente que Q X P está rerpresentado por el vector -V, que es igual y opuesto a V, entonces se escribe
Q X P = - (P X Q)
Cuerpos rígidos - Principio de transmisibilidad. Fuerzas equivalentes
Principio de transmisibilidad. Fuerzas equivalentes
El principio de transmisibilidad establece que las condiciones de quilibrio o de movimiento de un cuerpo rígido permanecerán inalteradas si una fuerza F que actúa en un punto dado de ese cuerpo se reemplaza por una fuerza F' que tiene la misma magnitud y dirección, pero que actúa en un punto distinto, siempre y cuando las dos fuerzas tengan la misma línea de acción (figura 3.3).
Las dos fuerzas F y F', tienen el mismo efecto sobre el cuerpo rígido y se dice que son equivalentes. Este principio establece que la acción de una fuerza puede ser transmitida a lo largo de su línea de acción, lo cual está basado en la evidencia experimental; no puede ser derivado a partir de las propiedades establecidas hasta ahora en este libro y, por tanto, debe ser aceptado como una ley experimental.
El principio de transmisibilidad establece que las condiciones de quilibrio o de movimiento de un cuerpo rígido permanecerán inalteradas si una fuerza F que actúa en un punto dado de ese cuerpo se reemplaza por una fuerza F' que tiene la misma magnitud y dirección, pero que actúa en un punto distinto, siempre y cuando las dos fuerzas tengan la misma línea de acción (figura 3.3).
Las dos fuerzas F y F', tienen el mismo efecto sobre el cuerpo rígido y se dice que son equivalentes. Este principio establece que la acción de una fuerza puede ser transmitida a lo largo de su línea de acción, lo cual está basado en la evidencia experimental; no puede ser derivado a partir de las propiedades establecidas hasta ahora en este libro y, por tanto, debe ser aceptado como una ley experimental.
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