Productos vectoriales expresados en términos de sus componentes

Considérese el producto i x j (figura 3.10a) Como ambos vectores tiene una magnitud igual a 1 y dado que éstos forman ángulos rectos entre sí, su producto vectorial tambien deberá ser un vector unitario. Dicho vector unitario debe ser k, puesto que los vectores i, j y k son mutuamente perpendiculares y forman una tríada a mano derecha. Por otra parte, a partir de la regla de la mano derecha, se concluye que el producto j x i debe ser igual -k (figura 3.10b).




Por último se debe observar que el producto vectorial de un vector consigo mismo, como i x i, es igual a cero debido a que ambos vectores tienen la misma dirección. Los productos vectoriales para los diversos pares posibles de vectores unitarios son

Si se ordenan las tres letras que representan a los vectores unitarios en un círculo en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj (figura 3.11) se puede determinar facilmente el signo del producto vectorial de dos vectores unitarios: el producto de dos vectores unitarios será positivo si éstos se siguen uno a otro en un oreden contrario al movimiento de las manecillas del reloj y será negativo si éstos se siguen uno al otro en un oreden en el sentido de las manecillas del reloj.


Ahora se puede expresar fácilmente el producto vectorial V de dos vectores P y Q en términos de las componentes rectangulares de dichos vectores. Al descomponer P y Q en sus componentes rectangulares, primero se escribe

V = P x Q = (Pxi + Pyj + Pzk) x (Qxi + Qyj + Qzk)

Despues al factorizar a i, j y k, se obtiene

V = (PyQz - PzQy) i + (PzQx - PxQz) j + (PxQy - PyQx) k