Examen 1 - Resolución

1. Dos fuerzas son aplicadas en el gancho que se muestra en la figura. Si la magnitud de P es de 14 lb, determine por trigonometría: a) el ángulo α requerido si la resultante R de las dos fuerzas aplicadas en el gancho es horizontal y b) la magnitud correspondiente de R.


2. Una caja de madera de 750 Kg está sostenida por tres cables como se muestra en la figura. Determine la tensión en cada cable.

Equilibrio en el espacio

Cuando una partícula está en equilibrio en el espacio tridimensional, deberán usarse y resolverse las tres ecuaciones de equilibrio

∑Fx = 0 ---- ∑Fy = 0 ---- ∑Fz = 0

Estas ecuaciones se pueden resolver para no más de tres incognitas.

Problema resuelto 2.8

Una sección de una pared de concreto precolado se sostiene temporalmente por los cables mostrados. Se sabe que la tensión es de 840 lb en el cable AB y 1 200 lb en el cable AC, determine la magnitud y la direccion de la resultante de las fuerzas ejercidas por los cables AB y AC sobre la estaca A.

SOLUCIÓN

Componentes de las fuerzas. La fuerza ejercida por cada cable sobre la estaca A se descompondrá en sus componentes x, y y z. Primero se determinarán las componentes y la magnitud de los vectores AB y AC, midiéndolos desde A hacia la sección de la pared. Si se representa por i, j y k a los vectores unitarios a lo largo de los ejes coordenados, se escribe
--->
AB = -(16 ft) i + (8 ft) j + (11 ft) k ------> AB = 21 ft
--->
AC = -(16 ft) i + (8 ft) j - (16 ft) k ------> AC = 24 ft

Al representar por λAB al vector unitario a lo largo de la línea AB, se tiene

TAB = TABλAB = TAB (--AB->/AB) = 840 lb/21 ft --AB->

Al sustituir le expresión encontrada para --AB->, se obtiene

TAB = 840 lb/21 ft [-(16 ft) i + (8 ft) j + (11 ft) k]

TAB = -(640 lb) i + (320 lb) j + (440 lb) k

Si se representa con λAC al vector unitario a lo largo de AC, se obtiene en forma semejante

TAC = TACλAC = TAC (--AC->/AC) = 1 200 lb/24 ft --AC->

TAC = -(800 lb) i + (400 lb) j - (800 lb) k

Resultante de las fuerzas. La resultante R de las fuerzas ejercidas por los dos cables es

R = TAB + TAC = -(1 440 lb) i + (720 lb) j - (360 lb) k

La magnitud y dirección de la resultante se determina por:

R = √R²x + R²y + R²z = √(-1 440)² + (720)² + (-360)²

R = 1 650 lb

De las ecuaciones (2.33) se obtiene

cos θx = Rx/R = -1 440 lb/1 650 lb -------------- cos θy = Ry/R = +720 lb/1 650 lb

cos θz = Rz/R = -360 lb/1 650 lb

Calculando en forma sucesiva cada cociente y su arco coseno, se obtiene

θx = 150.8º

θy = 64.1º

θz = 102.6º

Adición de fuerzas concurrentes en el espacio

La resultante R de dos o más fuerzas en el espacio se calcula sumando sus componentes rectangulares. Los métodos gráficos o trgonométricos no son muy prácticos en el uso de fuerzas en el espacio.
El método seguido aquí es semejante al empleado en la sección 2.8 con fuerzas complanares. Se establece que

R = ∑F

se descompone cada fuerza en sus componentes rectangulares y se escribe

Rx i + Ry j + Rz k = ∑(Fxi + Fyj + Fzk) = (∑Fx) i + (∑Fy) j + (∑Fz) k

dela cual se desprende que

Rx = ∑Fx ---- Ry = ∑Fy ---- Rz = Fz

La magnitud de la resultante y los ángulos θx, θy y θz que ésta forma con el eje de coordenadas se obtienen por el método de la sección "componentes rectangulares de una fuerza - Fuerzas en el espacio".

R = √R²x + R²y + R²z

cos θx = Rx/R ---- cos θy = Ry/R ---- cos θz = Rz/R ------> (2.33)

Resultante de fuerzas en el espacio

Cuando dos o mas fuerzas actúan sobre una partícula en el espacio tridimensional, las componentes rectangulares de su resultante R se pueden obtener al sumar en forma algebraica las componentes correspondientes de las fuerzas. Se tiene

Rx = ∑Fx ---- Ry = ∑Fy ---- Fz = ∑Fz

La magnitud y dirección de R se pueden determinar entonces a partir de relaciones similares a las ecuaciones (2.18) y (2.25) (ver el problema resuelto 2.8).

Fuerzas en el espacio

Una fuerza F en un espacio tridimensional se pude descomponer en componentes rectangulares Fx, Fy y Fz. Al simbolizar por medio de θx, θy y θz, respectivamente, los ángulos que F forma con los ejes x, y, y z (figura 2.38), se tiene

Fx = F cos θx ---- Fy = F cos θy ---- Fz = F cos θz ----------> (2.19)

Figura 2.38

Cosenos directores

Los cosenoa de θx, θy y θz se conocen como los cosenos directores (direccionales) de la fuerza F. Con la introducción de los vectores unitarios i, j y k a lo largo de los ejes cooredenados, se escribe

F = Fxi + Fyj + Fzk

0

F = F (cos θxi + cos θyj + cos θzk)

lo que demuestra (figura 2.39) que F es el producto de su magnitud F y el vector unitario

λ = cos θxi + cos θyj + cos θzk

Puesto que la magnitud de λ es igual a la unidad, se tiene que

cos² θx + cos² θy + cos² θz = 1

Cuando las componentes rectangulares Fx, Fy y Fz de una fuerza F se proporcionan, la magnitud F de la fuerza se encuentra al escribir

F = √F²x + F²y + F²z ---------> (2.18)

y los cosenos directores de F se obtienen a partir de las ecuaciones (2.19). Se tiene

cos θx = Fx/F ------------- cos θy = Fy/F -------------- cos θz = Fz/F

Cuando una Fuerza F se define en un espacio tridimensional por medio de su magnitud F y de dos puntos M y N sobre su línea de acción, sus componentes recatngulares se pueden obtener de la siguiente manera: primero se expresa el vector MN que une los puntos M y N en términos de sus componentes dx, dy y dz (figura 2.40); se escribe

---->
MN = dxi + dyj + dzk



Después se determina el vector unitario λ a lo largo de la línea de acción de F al dividir MN entre su magnitud MN = d:
--->
λ = MN/MN = 1/d (dxi + dyj + dzk)

Recordando que F es igual al producto de F y λ, se tiene

F = Fλ = F/d (dxi + dyj + dzk)

de lo cual se desprende (problemas resueltos 2.8) que las componentes escalares de F son, respectivamente,

Fx = Fdx/d ---- Fy = Fdy/d ---- Fz = Fdz/d

Ejercicios

P 2.44

Dos cables se amarran juntos en C y se cargan como indica la figura. Determine la tension en a) el cable AC, b) el cable BC.



Como tenemos 3 fuerzas, hacemos uso de la regla del triángulo

Determinación de los ángulos α y β



α = arc tan (.5 m /.525 m)

α = 43.6º

β = arc tan (.3 m /.4 m)

β = 36.86 º


Determinación de TAC y TBC

Proyección


Ley de senos

sen 80.46º/3 KN = sen 46.4º/TAC

TAC = 2.2 KN

sen 80.46º/3 KN = sen 53.14º/TBC

TBC = 2.43 KN


P 2.48

Dos semaforos se cuelgan temporalmente de un cable como se muestra en la figura. Si el semáforo colocado en B pesa 300 N, determine el peso del semáforo en C.


Diagrama de cuerpo libre




α = arc tan (1.5/3.6) = 22.619º

β = arc tan (0.4/3.4) = 6.7º


Ley de senos

sen 29.31º/300 N = sen 83.3/TBA

TBA = 608. 6 N

Ejercicio resuelto 2.6

Como parte del diseño de un nuevo velero, se desea determinar la fuerza de arrastre que puede esperarse a cierta velocidad. Para hacerlo, se coloca un modelo del casco propuesto en un canal de prueba y se usan tres cables para mantener su proa en el eje del centro del canal. Las lecturas de los dinamómetros indican que para una velocidad dada la tensión es de 40 lb en el cable AB y de 60 lb en el cable AE. Determine la fuerzasión de arrastre ejercida sobre el casco y la tensión en el cable AC.


Diagrama de cuerpo libre:


Haciendo uso de la trigonometría:




α = arc tan 7/4 = 60.25º











β = acr tan 1.5/4 = 20.55º







∑F = 0

F = Fx + Fy

TAC = TAC cos (69.45º) i + TAC sen (69.45º) j
TAB = 40 cos (150.25º) i + 40 sen (150.25º) j
TAE = 60 cos (270º) i + 60 sen (270º) j

(0.35 TAC) i + (0.93 TAC) j
(-34.72) i + (19.84) j
(0) i - (60) j

∑F = 0;

Fx = 0.35 TAC - 34.72 + F = 0
Fy = 0.93 TAC + 19.84 - 60 = 0


0.35 TAC + F = 34.72 ----- 1
0.93 TAC = 40.16 --------- 2

Despeje:

TAC = 40.16/.93 = 43.18 lb

Sustitución:

0.35 (43.18) + F = 34.72
F = 34.72 - 15.113

F = 19.607 lb

Ejercicio

En la operación de descarga de un barco, un automovil de 3 500 lb es soportado por un cable. Se ata una cuerda al cable A y se tira para centrar el automóvil sobre la posición deseada. El ángulo entre el cable y la vertical es de 15º, mientras que el ángulo entre la cuerda y la horizontal es de 30º. ¿Cúal es la tensión en las cuerdas?


Diagrama de cuerpo libre y Triángulo de fuerzas:

sen 15º/TAC = sen 120º/TCB = sen 45º/3 500 lb

TAC = 1 281 lb

TCB = 4 286.6 lb

Problemas relacionados con el equilibrio de una partícula. Diagramas de cuerpo libre

En la práctica, un problema de ingeniería mecánica se deriva de una situación física real. Un esquema que muestra las condiciones físicas del problema se conoce como diagrama espacial.

Los métodos de ánalisis estudiados en las secciones anteriores se aplican a un sistema de fuerzas que actúan sobre una párticula. Un gran número de problemas que tratan de estructuras pueden reducirse a problemas concernientes al equilibrio de una párticula. Esto se hace escogiendo una párticula significativa y dibujando un diagrama separado que muestra a ésta y a todas las fuerzas que actúan sobre ella. Dicho diagrama se conoce como diagrama de cuerpo libre.

Ejemplo:

Considerese el embalaje de madera de 75 Kg mostrado en el diagrama espacial de la figura 2.29a. Este descanzaba entre los edificios y ahora es levantado hacia la plataforma de un camión que lo quitará de ahí. El embalaje está soportado por un cable vertical unido en A a dos cuerdas que pasan sobre poleas fijas a los edificios en B y C. Se desea determinar la tensión en cada una de las cuerdas AB y AC.

Figura 2.29

Para resolver el problema debe trazarse un diagrama de cuerpo libre que muestre a la partícula en equilibrio. Puesto que se analizan las tensiones en las cuerdas, el diaagrama de cuerpo libre debe incluir al menos una de estas tensiones y si es posible a ambas. El punto A parece ser un buen cuerpo libre para este problema. El diagrama de cuerpo libre del punto A se muestra en la figura 2.29b. Ésta muestra al punto A y a las fuerzas ejercidas sobre A por el cable vertical y las dos cuerdas.
La fuerza ejercida por el cable está dirigida hacia abajo y es igual al peso W del contenedor. De acuerdo con la ecuacion (W = m.g), se escribe:

W = mg = (75 Kg) (9.81 m/s²) = 736 N

y se indica este valor en el diagrama de cuerpo libre. Las fuerzas ejercidas por las dos cuerdas no se conocnen, pero como son iguales en magnitud a la tensión en la cuerda AB y AC, se representan con TAB y TAC y se dibujan hacia fuera de A en las direcciones mostradas por el diagrama espacial. No se incluyen otros detalles en el diagrama de cuerpo libre.

Puesto que el punto A está en equilibrio, las tres fuerzas que actúan sobre él deben formar un triángulo cerrado cuando se dibujan de punta a cola. Este triángulo de fuerzas ha sido dibujado en la figura 2.29c.


Los vectores TAB y TAC de las tensiones en las cuerdas pueden encontrarse gráficamente si el triángulo se dibuja a escala, o pueden encontrarse mediante la trigonometría. Si se escoge el último método de solución, con la ley de senos se escribe:

TAB/sen 60º = TAC/sen 40º = 736 N/sen 80º

TAB = 647 N ---- TAC = 480 N

Cuando una particula esta en equilibrio bajo la accion de tres fuerzas, el problema siempre puede resolverse dibujando un triángulo de fuerzas.

Equilibrio de una Partícula

En las secciones anteriores se expusieron los métodos utilizados para determinar la resultante de varias fuerzas que actúan sobre una partícula. Aunque no ha ocurrido en ninguno de los problemas examinados hasta ahora, es posible que la resultante sea cero. En tal caso, el efecto neto de las fuerzas dadas es cero, y se dice que la partícula está en equilibrio. Entoces se tiene la siguiente definición: si la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre una partícula es cero, la partícula se encuentra en equilibrio.

Una partícula sometida a la acción de dos fuerzas estará en equilibrio si ambas fuerzas tienen la misma magnitud, la misma línea de acción, pero sentidos opuestos. Entonces la resultante de las dos fuerzas es cero.


En otros casos puede que la particula este en equilibrio debido a la accion de varias fuerzas, que sumadas entre si dan cero.

Ejemplo:


F1 = (300 lb) i + (0 lb) j
F2 = (0 lb) i - (173.2 lb) j
F3 = (200 lb) cos (240º) i + (200 lb) sen (240º) j
F4 = (400 lb) cos (120º) i + (400 lb) sen (120º) j
-------------------------------------------------

∑F = (0 lb) i + (0 lb) j

∑Fx = 0

∑Fy = 0

Ejercicio

P2.35

Si la tensión en el cable BC es de 145 lb, determine la resultante de las tres fuerzas ejercidas en el punto B de la viga AB.


Representación gráfica:

Haciendo uso de la trigonometría, (op./hip.) y (adyacente/hip.):

F1 = -100 lb (3 in./5 in.) i -100 lb (4 in./5 in.) j
F2 = 156 lb (12 in./13 in.) i -156 lb (5 in./13 in.) j
F3 = -145 lb (84 in./116 in.) i + 145 lb (80 in./116 in.) j

--------------------------------------

F1 = -(60 lb) i - (80 lb) j
F2 = (144 lb) i - (60 lb) j
F3 = - (105 lb) i + (100 lb) j

R = ∑F = -21 i - 40 j

| R | = √(-21)² + (-40)²

R = 45.17 lb

Adición de fuerzas sumando sus componentes X y Y

Cuando se van a sumar tres o más fuerzas, no puede obtenerse una solución trigonométrica práctica del polígono de fuerzas que define a la fuerza resultante. En este caso puede obtenerse una solución analítica del problema si se descompone cada fuerza en sus elementos rectangulares. Considerese, por ejemplo, las tres fuerzas P, Q y S que actuan sobre una partícula A (figura 2.25a). Su resultante R está definida por la relación

R = P + Q + S

Si se descompone cada fuerza en sus componentes rectalgulares, se escribe

Rxi + Ryj = Pxi + Pyj + Qxi + Qyj + Sxi + Syj

= ( Px + Qx + Sx) i + (Py + Qy + Sy) j

de donde se tiene que

Rx = Px + Qx+ Sx ----------------- Ry = Py + Qy + Sy

o, en forma breve,

Rx = ∑Fx ------------------ Ry = ∑Fy

Por tanto, se puede concluir que las componentes escalares Rx y Ry de la resultante R de varias fuerzas que actúan sobre una partícula se obtienen separando de manera algebraica las correspondientes componentes escalares de las fuerzas dadas.

Ejemplo:

Cuatro fuerzas actúan sobre un perno A como se muestra en la figura. Determine la resultante de las fuerzas sobre el perno.


R = ∑ F

F1 = 150 cos (30º) i + 150 sen (30º) j
F2 = 80 cos (110º) i + 80 sen (110º) j
F3 = 110 cos (270º) i + 110 sen (270º) j
F4 = 100 cos (345º) i + 100 sen (345º) j

F1 = 130 i + 75 j
F2 = -27.3 i + 75.17 j
F3 = 0 i - 110 j
F4 = 96.55 i - 25.88 j

R = ∑F = (199.25 N) i + (14.29 N) j

| R | = √(199.25)² + (14.29)²

R = 199.76 N

< º = tan-¹ (opuesto/adyacente)
= tan-¹ (14.29/199.25)

<º = 4.1º

Componentes rectangulares de una fuerza, vectores unitarios

En muchos problemas será conveniente descomponer una fuerza en sus componentes perpendiculares entre sí. En la figura 2.18, la fuerza F se ha descompuesto en una componente Fx a lo largo del eje x y una componente Fy a lo largo del eje y. El paralelogramo trazado para obtener las dos componentes es un rectangulo, y las fuerzas Fx y Fy se llaman componentes rectangulares.




Los ejes x y y suelen elegirse a lo largo de las direcciones horizontal y vertical, respectivamente, como se muestra en la figura 2.18; sin embargo, pueden seleccionarse en cualquiera otras direcciones perpendiculares, tal como indica la figura 2.19.




En este punto se introducirán dos vectores de magnitud unitaria dirigidos a lo largo de los ejes positivos x y y. A estos vectores se les llama vectores unitarios y se representan por i y j, respectivamente. Se observa que las componentes rectangulares Fx y Fy de una fuerza F pueden obtenerse con la multiplicación de sus respectivos vectores unitarios i y j por escalares apropiados (figura 2.21). Se escribe

Fx = Fxi ------ Fy = Fy j

F = Fxi + Fyj

Entonces podemos representar:

θ = ángulo que forma el vector en el lado positivo del eje de las x's.

θ = tan-¹ (Fy/Fx)

Ejemplo:

Una fuerza de 800 N se ejerce sobre un perno A como se muestra en la figura 2.22a. Determinese las componentes horizontal y vertical de la fuerza.



Para obtener el signo correctode las componentes escalares Fx y Fy, el valor 180° - 35° = 145° debe sustituirse por θ en las ecuaciones (2.8). Sin embargo, es más práctico determinar por inspección los signos de Fx y Fy (figura 2.22b) y usar las funciones trigonométricas del ángulo α = 35°.




Por consiguiente se puede escribir

Fx = -F cos α = -(800N) cos 135° = -655 N

Fy = +F sen α = +(800N) sen 35° = +459 N

Las componentes vectoriales de F son entonces

Fx = -(655 N)i ---- Fy = +(459N)j

y F se puede escribir en la forma

F = -(655 N)i + (459 N)j


Ejemplo 2:

Un hombre jala una cuerda atada a un edificio con una fuerza de 300 N, como se muestra en la figura 2.23a. ¿Cuáles son las componentes horizontal y vertical de la fuerza ejercida por la cuerda en el punto A?

a)

F = 300 N = R

θ = tan -¹ (6/8)

θ = 360º - 36.86º
θ = 323.14º


Ry = R sen θ

Rx = R cos θ

F = 240 i - 180 j

ó

Sacamos la hipotenusa:

c² = √8² + 6² = 10

Aplicando trigonometría.

Fx = 300 (8/10) i = 300 cos α
Fy = - 300 (6/10) = - 300 sen α

F = 240 i - 180 j


* Principio de tranmisibilidad ---> La tensión se encuentra a los largo de todo el vector.

Tarea - Resultante de varias fuerzas concurrentes

*Encuentra la magnitud y angulo de la resultante



Aplicando la Ley del Paralelogramo:




Calculamos la primera resultante, que es la resultante entre las primeras 2 tensiones:

Como tenemos dos fuerzas y el ángulo entre ellas usamos la ley de cosenos:
R1 = √(60²) + (40)² -2 (60) (40) cos 120

R1 = √5,200 + 2400 = 87.17


Ahora usando la resultante obtenida aplicamos otra vez la ley del paralelogramo con la tension restante:


Como ahora tenemos otra vez 2 fuerzas y el ángulo entre ellas volvemos a usar la ley de cosenos:

R = √(45²) + (87)² - 2 (45) (87) cos 136.54

R = √9 594 + 5 683.44

R = 123.6 lb

Para saber el agulo de la resultante, calculamos el angulo de la resultante usando la ley de senos con el triangulo formado y le sumamos el angulo del cateto adyacente:

sen 136.54/123.6 = <°/87

<° = 28.9° + 30°

<° R = 58.9°

Resultante de varias fuerzas concurrentes

Considerese una partícula A sujeta a varias fuerzas coplanares, es decir, varias fuerzas en el mismo plano (figura 2.14a). Como todas estas fuerzas pasan por A, se dice que son concurrentes.
Los vectores que representan las fuerzas que actuan sobre A pueden sumarse con la regla del poligono (figura 2.14b). Puesto que el uso de la regla del poligono es equivalente a la aplicacion repetida de la ley del paralelogramo, el vector R obtenido representa la resultante de las fuerzas concurrentes que intervienen, es decir, la fuerza que produce el mismo efecto sobre la particula A que las fuerzas dadas.
No importa el orden en el que se sumen los vectores P, Q y S que representan las fuerzas sobre la particula.



Ejercicio:

Tarea - Resultante de dos fuerzas

Tarea


2.1 Dos fuerzas P y Q se aplican en el punto A del gancho que se muestra en la figura. Si P = 15 lb y Q = 25 lb, determine en forma gráfica la magnitud y direccion de su resultante empleando a) ley del paralelogramo, b) la regla del triangulo.

-- --

Como tenemos dos fuerzas y el angulo entre ellas entonces usamos la ley de cosenos:

R = √15² + 25² - 2 (15) (25) cos 135

R= 37.15 lb (Magnitud)

Para saber el angulo de α :

Ley de senos

sen 135/37.15 = arc sen <° /15

<° = 16.58°

Al saber el angulo en el punto A del triangulo formado, lo restamos al angulo de 30° para saber el angulo formado por la resultante con la vertical:

30 -16.58 = 13.42° y para saber el angulo de la resultante simplemente restamos esta cantidad al angulo formado por la vertical con el eje x que obviamente es de 90°:

90 - 13.42 = 76.58° <------------- Angulo de la resultante (Dirección)