Fuerzas en el espacio

Una fuerza F en un espacio tridimensional se pude descomponer en componentes rectangulares Fx, Fy y Fz. Al simbolizar por medio de θx, θy y θz, respectivamente, los ángulos que F forma con los ejes x, y, y z (figura 2.38), se tiene

Fx = F cos θx ---- Fy = F cos θy ---- Fz = F cos θz ----------> (2.19)

Figura 2.38

Cosenos directores

Los cosenoa de θx, θy y θz se conocen como los cosenos directores (direccionales) de la fuerza F. Con la introducción de los vectores unitarios i, j y k a lo largo de los ejes cooredenados, se escribe

F = Fxi + Fyj + Fzk

0

F = F (cos θxi + cos θyj + cos θzk)

lo que demuestra (figura 2.39) que F es el producto de su magnitud F y el vector unitario

λ = cos θxi + cos θyj + cos θzk

Puesto que la magnitud de λ es igual a la unidad, se tiene que

cos² θx + cos² θy + cos² θz = 1

Cuando las componentes rectangulares Fx, Fy y Fz de una fuerza F se proporcionan, la magnitud F de la fuerza se encuentra al escribir

F = √F²x + F²y + F²z ---------> (2.18)

y los cosenos directores de F se obtienen a partir de las ecuaciones (2.19). Se tiene

cos θx = Fx/F ------------- cos θy = Fy/F -------------- cos θz = Fz/F

Cuando una Fuerza F se define en un espacio tridimensional por medio de su magnitud F y de dos puntos M y N sobre su línea de acción, sus componentes recatngulares se pueden obtener de la siguiente manera: primero se expresa el vector MN que une los puntos M y N en términos de sus componentes dx, dy y dz (figura 2.40); se escribe

---->
MN = dxi + dyj + dzk



Después se determina el vector unitario λ a lo largo de la línea de acción de F al dividir MN entre su magnitud MN = d:
--->
λ = MN/MN = 1/d (dxi + dyj + dzk)

Recordando que F es igual al producto de F y λ, se tiene

F = Fλ = F/d (dxi + dyj + dzk)

de lo cual se desprende (problemas resueltos 2.8) que las componentes escalares de F son, respectivamente,

Fx = Fdx/d ---- Fy = Fdy/d ---- Fz = Fdz/d