Problema resuelto 2.8

Una sección de una pared de concreto precolado se sostiene temporalmente por los cables mostrados. Se sabe que la tensión es de 840 lb en el cable AB y 1 200 lb en el cable AC, determine la magnitud y la direccion de la resultante de las fuerzas ejercidas por los cables AB y AC sobre la estaca A.

SOLUCIÓN

Componentes de las fuerzas. La fuerza ejercida por cada cable sobre la estaca A se descompondrá en sus componentes x, y y z. Primero se determinarán las componentes y la magnitud de los vectores AB y AC, midiéndolos desde A hacia la sección de la pared. Si se representa por i, j y k a los vectores unitarios a lo largo de los ejes coordenados, se escribe
--->
AB = -(16 ft) i + (8 ft) j + (11 ft) k ------> AB = 21 ft
--->
AC = -(16 ft) i + (8 ft) j - (16 ft) k ------> AC = 24 ft

Al representar por λAB al vector unitario a lo largo de la línea AB, se tiene

TAB = TABλAB = TAB (--AB->/AB) = 840 lb/21 ft --AB->

Al sustituir le expresión encontrada para --AB->, se obtiene

TAB = 840 lb/21 ft [-(16 ft) i + (8 ft) j + (11 ft) k]

TAB = -(640 lb) i + (320 lb) j + (440 lb) k

Si se representa con λAC al vector unitario a lo largo de AC, se obtiene en forma semejante

TAC = TACλAC = TAC (--AC->/AC) = 1 200 lb/24 ft --AC->

TAC = -(800 lb) i + (400 lb) j - (800 lb) k

Resultante de las fuerzas. La resultante R de las fuerzas ejercidas por los dos cables es

R = TAB + TAC = -(1 440 lb) i + (720 lb) j - (360 lb) k

La magnitud y dirección de la resultante se determina por:

R = √R²x + R²y + R²z = √(-1 440)² + (720)² + (-360)²

R = 1 650 lb

De las ecuaciones (2.33) se obtiene

cos θx = Rx/R = -1 440 lb/1 650 lb -------------- cos θy = Ry/R = +720 lb/1 650 lb

cos θz = Rz/R = -360 lb/1 650 lb

Calculando en forma sucesiva cada cociente y su arco coseno, se obtiene

θx = 150.8º

θy = 64.1º

θz = 102.6º