MOL = λ . MO = λ . (r x F)
lo cual demuestra que el momento MOL de F con respecto al eje OL es el escalar que se obtiene formando el producto triple escalar de λ, r y F.
sábado, 21 de marzo de 2009
Momento de una fuerza con respecto a un eje dado
Considérese la fuerza F que actúa sobre un cuerpo rígido y el momento Mo de dicha fuerza con respecto a O (figura 3.27). Sea OL un eje a través de O; el momento MOL de F con respecto a OL se define como la proyección OC del momento Mo sobre el eje OL. Representando el vector unitario a lo largo de OL como λ, se tiene
viernes, 20 de marzo de 2009
Problema 3.23
P 3.23
Antes de colocar un cable telefónico, la cuerda BAC se ata a una estaca situada en B y se pasa por una polea en A. Si el tramo AC de la cuerda pertenece al plano paralelo xy, y la magnitud de la tensión T en la cuerda es de 62 lb, determine el momento respecto a O de la fuerza resultante ejercida por la cuerda sobre la polea.
T = 62 lb
MO = rA/O X F
rA/O = 0 i + (30 ft) j + (3 ft) k
TAB = 62 lb (λ AB)
λAB = AB/|AB| = (5 ft) i + (-30 ft) j + (6 ft) k/ √(5)² + (-30)² + (6)²
= (5 ft) i/31 , (-30 ft) j/31 , (6 ft) k/31 = (0.16129) i - (0.9677) j + (0.193548) k x 62 lb
TAB = (10 lb) i - (60 lb) j + (12 lb) k
TAC = (-62 lb) cos 10º - (62 lb) sen 10º = (-61.058 lb) i + (-10.766 lb) j
R = TAB + TAC
Rx = (-51.058 lb) i
Ry = (-70.766 lb) j
Rz = (12 lb) k
Momento con respecto a O de la fuerza resultante
MOX = (30 ft x 12 lb) i + (3 ft x -70.766 lb) -i = 360 lb.ft + 212.3 lb.ft
MOX = (572.3 lb.ft) i
MOY = (3 ft x -51.050 lb) j
MOY = (-153.174 lb.ft) j
MOZ = (30 ft x -51.058 lb) -k
MOZ = (1 531.68 lb.ft) k
Antes de colocar un cable telefónico, la cuerda BAC se ata a una estaca situada en B y se pasa por una polea en A. Si el tramo AC de la cuerda pertenece al plano paralelo xy, y la magnitud de la tensión T en la cuerda es de 62 lb, determine el momento respecto a O de la fuerza resultante ejercida por la cuerda sobre la polea.
T = 62 lb
MO = rA/O X F
rA/O = 0 i + (30 ft) j + (3 ft) k
TAB = 62 lb (λ AB)
λAB = AB/|AB| = (5 ft) i + (-30 ft) j + (6 ft) k/ √(5)² + (-30)² + (6)²
= (5 ft) i/31 , (-30 ft) j/31 , (6 ft) k/31 = (0.16129) i - (0.9677) j + (0.193548) k x 62 lb
TAB = (10 lb) i - (60 lb) j + (12 lb) k
TAC = (-62 lb) cos 10º - (62 lb) sen 10º = (-61.058 lb) i + (-10.766 lb) j
R = TAB + TAC
Rx = (-51.058 lb) i
Ry = (-70.766 lb) j
Rz = (12 lb) k
Momento con respecto a O de la fuerza resultante
MOX = (30 ft x 12 lb) i + (3 ft x -70.766 lb) -i = 360 lb.ft + 212.3 lb.ft
MOX = (572.3 lb.ft) i
MOY = (3 ft x -51.050 lb) j
MOY = (-153.174 lb.ft) j
MOZ = (30 ft x -51.058 lb) -k
MOZ = (1 531.68 lb.ft) k
sábado, 7 de marzo de 2009
Ejercicio 3.3
P 3.3
Una fuerza P de 3 lb se aplica a una palanca que controla la barrena de una barredora de nieve. Determine el momento de P respecto a A cuando α es igual a 30º.
---------------------------------
Px = 3 cos (240º) = (-1.5 lb) i
Py = 3 sen (240º) = (-2.598 lb) j
c = √(4.8)² + (3.4)²
c = 5.88 in.
MA = (-3.4 in) (-2.59 lb) k - (4.8 in) (-1.5 lb) k
MA = (+ 8.833 + 7.2) k
MA = 16.0332 lb. in
Una fuerza P de 3 lb se aplica a una palanca que controla la barrena de una barredora de nieve. Determine el momento de P respecto a A cuando α es igual a 30º.
---------------------------------
Px = 3 cos (240º) = (-1.5 lb) i
Py = 3 sen (240º) = (-2.598 lb) j
c = √(4.8)² + (3.4)²
c = 5.88 in.
MA = (-3.4 in) (-2.59 lb) k - (4.8 in) (-1.5 lb) k
MA = (+ 8.833 + 7.2) k
MA = 16.0332 lb. in
Componentes rectangulares del momento de una fuerza
En general, la determinación del momento de una fuerza en el espacio se simplifica en forma considerable si el vector de fuerza y el vector de posición a partir de su punto de aplicación se descomponen en sus componentes rectangulares x, y y z. Por ejemplo, considere el momento Mo con respecto a O de una fuerza F con componentes Fx, Fy y Fz que está aplicada en el punto A de cooredenads x, y y z (figura 3.15).
Se observa que las componentes del vector de posición r son iguales, respectivamente, a las cooredenadas x, y y z del punto A, se escribe
Se observa que las componentes del vector de posición r son iguales, respectivamente, a las cooredenadas x, y y z del punto A, se escribe
r = xi + yj + zk -----> (3.15)
F = Fxi + Fyj + Fzk ------> (3.16)
Al sustituir a r y a F a partir de (3.15) y (3.16) en
Mo = r X F
se puede escribir el momento Mo de F con respecto a O de la siguiente forma
Mo = Mxi + Myj + Mzk
donde las componentes escalares Mx, My y Mz están definidas por las relaciones
Mx = yFz - zFy
My = zFx - xFz
Mz = xFy - yFx
Teorema de varignon
La propiedad distributiva de los productos vectoriales se puede emplear para determinar el momento de la resultante de varias fuerzas concurrentes. Si las fuerzas F1, F2,... se aplican en el mismo punto A(figura 3.14) y si representa por r al vector de posición A, a partir de la ecuación "P x (Q1 + Q2) = P x Q1 + P x Q2", se puede concluir que
r = x (F1 + F2 + ...) = r x F1 + F2 + ...
Esto es, el momento con respecto a un punto dado O de la resultante de varias fuerzas concurrentes es igual a la suma de los momentos de las distintas fuerzas con respecto al mismo punto O.
Momento de una fuerza con respecto a un punto
Considere una fuerza F que actúa sobre un cuerpo rígido (figura 3.12a).
Como se sabe, la fuerza F está representada por un vector que define la magnitud y su dirección. Sin embargo, el efecto de la fuerza sobre el cuerpo rígido tambien depende de su punto de aplicación A. La posición de A puede definirse de manera conveniente por medio del vector r que une al punto de referencia fijo O con A; a este vector se le conoce como el vector de posición de A. El vector de posición r y la fuerza F definen el plano mostrado en la figura 3.12a.
El momento de F con respecto a O se define como el producto vectorial de r y F:
Como se sabe, la fuerza F está representada por un vector que define la magnitud y su dirección. Sin embargo, el efecto de la fuerza sobre el cuerpo rígido tambien depende de su punto de aplicación A. La posición de A puede definirse de manera conveniente por medio del vector r que une al punto de referencia fijo O con A; a este vector se le conoce como el vector de posición de A. El vector de posición r y la fuerza F definen el plano mostrado en la figura 3.12a.
El momento de F con respecto a O se define como el producto vectorial de r y F:
MO = r xF
Si se representa con θ el ángulo entre las líneas de acción de r y F, se encuentra que la magnitud del momento de F con respecto a O puede expresarse como
donde d representa la distancia perpendicular desde O hasta la línea de acción de F.
El sentido de Mo está definido por el sentido de la rotación que haría al vector r colineal con el vector F; un observador localizado en el extremo de Mo ve a esta rotación como una rotación en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj. Otra forma de definir el sentido de Mo se logre por medio de la regla de la mano derecha (figura 3.12b).
La magnitud de MO mide la tendencia de la fuerza F a hacer rotar al cuerpo rígido alrededor de un eje fijo dirigido a lo largo de MO.
Ejemplo:
En el sistema de unidades de SI, donde la fuerza se expresa en newtons (N) y la distancia se expresa en metros (m), el momento de una fuerza estará expresado en newtons-metro (N . m).
Mientras que en el sistema de unidadedes ingles será lb . ft (libras por pie).
Si se representa con θ el ángulo entre las líneas de acción de r y F, se encuentra que la magnitud del momento de F con respecto a O puede expresarse como
MO = rF sen θ = Fd
donde d representa la distancia perpendicular desde O hasta la línea de acción de F.
El sentido de Mo está definido por el sentido de la rotación que haría al vector r colineal con el vector F; un observador localizado en el extremo de Mo ve a esta rotación como una rotación en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj. Otra forma de definir el sentido de Mo se logre por medio de la regla de la mano derecha (figura 3.12b).
La magnitud de MO mide la tendencia de la fuerza F a hacer rotar al cuerpo rígido alrededor de un eje fijo dirigido a lo largo de MO.
Ejemplo:
En el sistema de unidades de SI, donde la fuerza se expresa en newtons (N) y la distancia se expresa en metros (m), el momento de una fuerza estará expresado en newtons-metro (N . m).
Mientras que en el sistema de unidadedes ingles será lb . ft (libras por pie).
Productos vectoriales expresados en términos de sus componentes
Considérese el producto i x j (figura 3.10a) Como ambos vectores tiene una magnitud igual a 1 y dado que éstos forman ángulos rectos entre sí, su producto vectorial tambien deberá ser un vector unitario. Dicho vector unitario debe ser k, puesto que los vectores i, j y k son mutuamente perpendiculares y forman una tríada a mano derecha. Por otra parte, a partir de la regla de la mano derecha, se concluye que el producto j x i debe ser igual -k (figura 3.10b).
Por último se debe observar que el producto vectorial de un vector consigo mismo, como i x i, es igual a cero debido a que ambos vectores tienen la misma dirección. Los productos vectoriales para los diversos pares posibles de vectores unitarios son
Si se ordenan las tres letras que representan a los vectores unitarios en un círculo en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj (figura 3.11) se puede determinar facilmente el signo del producto vectorial de dos vectores unitarios: el producto de dos vectores unitarios será positivo si éstos se siguen uno a otro en un oreden contrario al movimiento de las manecillas del reloj y será negativo si éstos se siguen uno al otro en un oreden en el sentido de las manecillas del reloj.
Ahora se puede expresar fácilmente el producto vectorial V de dos vectores P y Q en términos de las componentes rectangulares de dichos vectores. Al descomponer P y Q en sus componentes rectangulares, primero se escribe
Por último se debe observar que el producto vectorial de un vector consigo mismo, como i x i, es igual a cero debido a que ambos vectores tienen la misma dirección. Los productos vectoriales para los diversos pares posibles de vectores unitarios son
Si se ordenan las tres letras que representan a los vectores unitarios en un círculo en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj (figura 3.11) se puede determinar facilmente el signo del producto vectorial de dos vectores unitarios: el producto de dos vectores unitarios será positivo si éstos se siguen uno a otro en un oreden contrario al movimiento de las manecillas del reloj y será negativo si éstos se siguen uno al otro en un oreden en el sentido de las manecillas del reloj.
Ahora se puede expresar fácilmente el producto vectorial V de dos vectores P y Q en términos de las componentes rectangulares de dichos vectores. Al descomponer P y Q en sus componentes rectangulares, primero se escribe
V = P x Q = (Pxi + Pyj + Pzk) x (Qxi + Qyj + Qzk)
Despues al factorizar a i, j y k, se obtiene
V = (PyQz - PzQy) i + (PzQx - PxQz) j + (PxQy - PyQx) k
viernes, 6 de marzo de 2009
Producto vectorial de dos vectores
El producto vectorial de los vectores P y Q se define como el vector V que satisface las siguientes condiciones.
1. La línea de acción de V es perpendicular al plano que contiene a P y Q (figura 3.6a).
2. La magnitud de V es el producto de las magnitudes de P y Q por el seno del ángulo formado po P y Q (cuya medida siempre deberá ser menor o igual a 180º); por tanto, se tiene
1. La línea de acción de V es perpendicular al plano que contiene a P y Q (figura 3.6a).
2. La magnitud de V es el producto de las magnitudes de P y Q por el seno del ángulo formado po P y Q (cuya medida siempre deberá ser menor o igual a 180º); por tanto, se tiene
V = PQ sen θ
3. La dirección de V se obtiene a partir de la regla de la mano derecha. Cierre su mano derecha y manténgala de manera que sus dedos estén doblados en el primer sentido que la rotación a través del ángulo θ que haría al vector P colineal con el vector Q; entonces, su dedo pulgar indicará la dirección del vector V (figura 3.6b). Observese que si P y Q no tienen un punto de aplicación común, estos primeros se deben volver a dibujar y V -tomados en ese orden- forman una triada a mano derecha.
El vector V que satisface estas tres condiciones (las cuales lo definen en forma única) se conoce como el producto vectorial de P y Q y se representaa por la expresión matemática
El vector V que satisface estas tres condiciones (las cuales lo definen en forma única) se conoce como el producto vectorial de P y Q y se representaa por la expresión matemática
V = P X Q
Q X P no es igual a P X Q. De hecho, se puede verificar facilmente que Q X P está rerpresentado por el vector -V, que es igual y opuesto a V, entonces se escribe
Q X P = - (P X Q)
Cuerpos rígidos - Principio de transmisibilidad. Fuerzas equivalentes
Principio de transmisibilidad. Fuerzas equivalentes
El principio de transmisibilidad establece que las condiciones de quilibrio o de movimiento de un cuerpo rígido permanecerán inalteradas si una fuerza F que actúa en un punto dado de ese cuerpo se reemplaza por una fuerza F' que tiene la misma magnitud y dirección, pero que actúa en un punto distinto, siempre y cuando las dos fuerzas tengan la misma línea de acción (figura 3.3).
Las dos fuerzas F y F', tienen el mismo efecto sobre el cuerpo rígido y se dice que son equivalentes. Este principio establece que la acción de una fuerza puede ser transmitida a lo largo de su línea de acción, lo cual está basado en la evidencia experimental; no puede ser derivado a partir de las propiedades establecidas hasta ahora en este libro y, por tanto, debe ser aceptado como una ley experimental.
El principio de transmisibilidad establece que las condiciones de quilibrio o de movimiento de un cuerpo rígido permanecerán inalteradas si una fuerza F que actúa en un punto dado de ese cuerpo se reemplaza por una fuerza F' que tiene la misma magnitud y dirección, pero que actúa en un punto distinto, siempre y cuando las dos fuerzas tengan la misma línea de acción (figura 3.3).
Las dos fuerzas F y F', tienen el mismo efecto sobre el cuerpo rígido y se dice que son equivalentes. Este principio establece que la acción de una fuerza puede ser transmitida a lo largo de su línea de acción, lo cual está basado en la evidencia experimental; no puede ser derivado a partir de las propiedades establecidas hasta ahora en este libro y, por tanto, debe ser aceptado como una ley experimental.
sábado, 28 de febrero de 2009
Examen 1 - Resolución
1. Dos fuerzas son aplicadas en el gancho que se muestra en la figura. Si la magnitud de P es de 14 lb, determine por trigonometría: a) el ángulo α requerido si la resultante R de las dos fuerzas aplicadas en el gancho es horizontal y b) la magnitud correspondiente de R.
2. Una caja de madera de 750 Kg está sostenida por tres cables como se muestra en la figura. Determine la tensión en cada cable.
2. Una caja de madera de 750 Kg está sostenida por tres cables como se muestra en la figura. Determine la tensión en cada cable.
viernes, 27 de febrero de 2009
Equilibrio en el espacio
Cuando una partícula está en equilibrio en el espacio tridimensional, deberán usarse y resolverse las tres ecuaciones de equilibrio
Estas ecuaciones se pueden resolver para no más de tres incognitas.
∑Fx = 0 ---- ∑Fy = 0 ---- ∑Fz = 0
Estas ecuaciones se pueden resolver para no más de tres incognitas.
Problema resuelto 2.8
Una sección de una pared de concreto precolado se sostiene temporalmente por los cables mostrados. Se sabe que la tensión es de 840 lb en el cable AB y 1 200 lb en el cable AC, determine la magnitud y la direccion de la resultante de las fuerzas ejercidas por los cables AB y AC sobre la estaca A.
SOLUCIÓN
Componentes de las fuerzas. La fuerza ejercida por cada cable sobre la estaca A se descompondrá en sus componentes x, y y z. Primero se determinarán las componentes y la magnitud de los vectores AB y AC, midiéndolos desde A hacia la sección de la pared. Si se representa por i, j y k a los vectores unitarios a lo largo de los ejes coordenados, se escribe
--->
AB = -(16 ft) i + (8 ft) j + (11 ft) k ------> AB = 21 ft
--->
AC = -(16 ft) i + (8 ft) j - (16 ft) k ------> AC = 24 ft
Al representar por λAB al vector unitario a lo largo de la línea AB, se tiene
SOLUCIÓNComponentes de las fuerzas. La fuerza ejercida por cada cable sobre la estaca A se descompondrá en sus componentes x, y y z. Primero se determinarán las componentes y la magnitud de los vectores AB y AC, midiéndolos desde A hacia la sección de la pared. Si se representa por i, j y k a los vectores unitarios a lo largo de los ejes coordenados, se escribe
--->
AB = -(16 ft) i + (8 ft) j + (11 ft) k ------> AB = 21 ft
--->
AC = -(16 ft) i + (8 ft) j - (16 ft) k ------> AC = 24 ft
Al representar por λAB al vector unitario a lo largo de la línea AB, se tiene
TAB = TABλAB = TAB (--AB->/AB) = 840 lb/21 ft --AB->
Al sustituir le expresión encontrada para --AB->, se obtiene
TAB = 840 lb/21 ft [-(16 ft) i + (8 ft) j + (11 ft) k]
TAB = -(640 lb) i + (320 lb) j + (440 lb) k
Si se representa con λAC al vector unitario a lo largo de AC, se obtiene en forma semejante
TAB = 840 lb/21 ft [-(16 ft) i + (8 ft) j + (11 ft) k]
TAB = -(640 lb) i + (320 lb) j + (440 lb) k
Si se representa con λAC al vector unitario a lo largo de AC, se obtiene en forma semejante
TAC = TACλAC = TAC (--AC->/AC) = 1 200 lb/24 ft --AC->
TAC = -(800 lb) i + (400 lb) j - (800 lb) k
TAC = -(800 lb) i + (400 lb) j - (800 lb) k
Resultante de las fuerzas. La resultante R de las fuerzas ejercidas por los dos cables es
La magnitud y dirección de la resultante se determina por:
R = √R²x + R²y + R²z = √(-1 440)² + (720)² + (-360)²
R = 1 650 lb
De las ecuaciones (2.33) se obtiene
R = TAB + TAC = -(1 440 lb) i + (720 lb) j - (360 lb) k
La magnitud y dirección de la resultante se determina por:
R = √R²x + R²y + R²z = √(-1 440)² + (720)² + (-360)²
R = 1 650 lb
De las ecuaciones (2.33) se obtiene
cos θx = Rx/R = -1 440 lb/1 650 lb -------------- cos θy = Ry/R = +720 lb/1 650 lb
cos θz = Rz/R = -360 lb/1 650 lb
Calculando en forma sucesiva cada cociente y su arco coseno, se obtiene
θx = 150.8º
θy = 64.1º
θz = 102.6º
θx = 150.8º
θy = 64.1º
θz = 102.6º
Adición de fuerzas concurrentes en el espacio
La resultante R de dos o más fuerzas en el espacio se calcula sumando sus componentes rectangulares. Los métodos gráficos o trgonométricos no son muy prácticos en el uso de fuerzas en el espacio.
El método seguido aquí es semejante al empleado en la sección 2.8 con fuerzas complanares. Se establece que
El método seguido aquí es semejante al empleado en la sección 2.8 con fuerzas complanares. Se establece que
R = ∑F
se descompone cada fuerza en sus componentes rectangulares y se escribe
dela cual se desprende que
Rx i + Ry j + Rz k = ∑(Fxi + Fyj + Fzk) = (∑Fx) i + (∑Fy) j + (∑Fz) k
dela cual se desprende que
Rx = ∑Fx ---- Ry = ∑Fy ---- Rz = Fz
La magnitud de la resultante y los ángulos θx, θy y θz que ésta forma con el eje de coordenadas se obtienen por el método de la sección "componentes rectangulares de una fuerza - Fuerzas en el espacio".
R = √R²x + R²y + R²z
cos θx = Rx/R ---- cos θy = Ry/R ---- cos θz = Rz/R ------> (2.33)
cos θx = Rx/R ---- cos θy = Ry/R ---- cos θz = Rz/R ------> (2.33)
Resultante de fuerzas en el espacio
Cuando dos o mas fuerzas actúan sobre una partícula en el espacio tridimensional, las componentes rectangulares de su resultante R se pueden obtener al sumar en forma algebraica las componentes correspondientes de las fuerzas. Se tiene
Rx = ∑Fx ---- Ry = ∑Fy ---- Fz = ∑Fz
La magnitud y dirección de R se pueden determinar entonces a partir de relaciones similares a las ecuaciones (2.18) y (2.25) (ver el problema resuelto 2.8).
Fuerzas en el espacio
Una fuerza F en un espacio tridimensional se pude descomponer en componentes rectangulares Fx, Fy y Fz. Al simbolizar por medio de θx, θy y θz, respectivamente, los ángulos que F forma con los ejes x, y, y z (figura 2.38), se tiene
Fx = F cos θx ---- Fy = F cos θy ---- Fz = F cos θz ----------> (2.19)
Cosenos directores
Los cosenoa de θx, θy y θz se conocen como los cosenos directores (direccionales) de la fuerza F. Con la introducción de los vectores unitarios i, j y k a lo largo de los ejes cooredenados, se escribe
Figura 2.38
Cosenos directores
Los cosenoa de θx, θy y θz se conocen como los cosenos directores (direccionales) de la fuerza F. Con la introducción de los vectores unitarios i, j y k a lo largo de los ejes cooredenados, se escribe
F = Fxi + Fyj + Fzk
0
F = F (cos θxi + cos θyj + cos θzk)
0
F = F (cos θxi + cos θyj + cos θzk)
lo que demuestra (figura 2.39) que F es el producto de su magnitud F y el vector unitario
λ = cos θxi + cos θyj + cos θzk
Puesto que la magnitud de λ es igual a la unidad, se tiene que
cos² θx + cos² θy + cos² θz = 1
Cuando las componentes rectangulares Fx, Fy y Fz de una fuerza F se proporcionan, la magnitud F de la fuerza se encuentra al escribir
F = √F²x + F²y + F²z ---------> (2.18)
y los cosenos directores de F se obtienen a partir de las ecuaciones (2.19). Se tiene
Cuando una Fuerza F se define en un espacio tridimensional por medio de su magnitud F y de dos puntos M y N sobre su línea de acción, sus componentes recatngulares se pueden obtener de la siguiente manera: primero se expresa el vector MN que une los puntos M y N en términos de sus componentes dx, dy y dz (figura 2.40); se escribe
cos θx = Fx/F ------------- cos θy = Fy/F -------------- cos θz = Fz/F
Cuando una Fuerza F se define en un espacio tridimensional por medio de su magnitud F y de dos puntos M y N sobre su línea de acción, sus componentes recatngulares se pueden obtener de la siguiente manera: primero se expresa el vector MN que une los puntos M y N en términos de sus componentes dx, dy y dz (figura 2.40); se escribe
---->
MN = dxi + dyj + dzk
Después se determina el vector unitario λ a lo largo de la línea de acción de F al dividir MN entre su magnitud MN = d:
--->
λ = MN/MN = 1/d (dxi + dyj + dzk)
Recordando que F es igual al producto de F y λ, se tiene
MN = dxi + dyj + dzk
Después se determina el vector unitario λ a lo largo de la línea de acción de F al dividir MN entre su magnitud MN = d:
--->
λ = MN/MN = 1/d (dxi + dyj + dzk)
Recordando que F es igual al producto de F y λ, se tiene
F = Fλ = F/d (dxi + dyj + dzk)
de lo cual se desprende (problemas resueltos 2.8) que las componentes escalares de F son, respectivamente,
Fx = Fdx/d ---- Fy = Fdy/d ---- Fz = Fdz/d
lunes, 16 de febrero de 2009
Ejercicios
P 2.44
Dos cables se amarran juntos en C y se cargan como indica la figura. Determine la tension en a) el cable AC, b) el cable BC.
Como tenemos 3 fuerzas, hacemos uso de la regla del triángulo
Determinación de los ángulos α y β
α = arc tan (.5 m /.525 m)
α = 43.6º
β = arc tan (.3 m /.4 m)
β = 36.86 º
Determinación de TAC y TBC
Proyección
Ley de senos
sen 80.46º/3 KN = sen 46.4º/TAC
TAC = 2.2 KN
sen 80.46º/3 KN = sen 53.14º/TBC
TBC = 2.43 KN
P 2.48
Dos semaforos se cuelgan temporalmente de un cable como se muestra en la figura. Si el semáforo colocado en B pesa 300 N, determine el peso del semáforo en C.
Diagrama de cuerpo libre
α = arc tan (1.5/3.6) = 22.619º
β = arc tan (0.4/3.4) = 6.7º
Ley de senos
sen 29.31º/300 N = sen 83.3/TBA
TBA = 608. 6 N
Dos cables se amarran juntos en C y se cargan como indica la figura. Determine la tension en a) el cable AC, b) el cable BC.
Como tenemos 3 fuerzas, hacemos uso de la regla del triángulo
Determinación de los ángulos α y β
α = arc tan (.5 m /.525 m)
α = 43.6º
β = arc tan (.3 m /.4 m)
β = 36.86 º
Determinación de TAC y TBC
Proyección
Ley de senos
sen 80.46º/3 KN = sen 46.4º/TAC
TAC = 2.2 KN
sen 80.46º/3 KN = sen 53.14º/TBC
TBC = 2.43 KN
P 2.48
Dos semaforos se cuelgan temporalmente de un cable como se muestra en la figura. Si el semáforo colocado en B pesa 300 N, determine el peso del semáforo en C.
Diagrama de cuerpo libre
α = arc tan (1.5/3.6) = 22.619º
β = arc tan (0.4/3.4) = 6.7º
Ley de senos
sen 29.31º/300 N = sen 83.3/TBA
TBA = 608. 6 N
domingo, 15 de febrero de 2009
Ejercicio resuelto 2.6
Como parte del diseño de un nuevo velero, se desea determinar la fuerza de arrastre que puede esperarse a cierta velocidad. Para hacerlo, se coloca un modelo del casco propuesto en un canal de prueba y se usan tres cables para mantener su proa en el eje del centro del canal. Las lecturas de los dinamómetros indican que para una velocidad dada la tensión es de 40 lb en el cable AB y de 60 lb en el cable AE. Determine la fuerzasión de arrastre ejercida sobre el casco y la tensión en el cable AC.
Diagrama de cuerpo libre:
Haciendo uso de la trigonometría:
α = arc tan 7/4 = 60.25º
β = acr tan 1.5/4 = 20.55º
∑F = 0
F = Fx + Fy
TAC = TAC cos (69.45º) i + TAC sen (69.45º) j
TAB = 40 cos (150.25º) i + 40 sen (150.25º) j
TAE = 60 cos (270º) i + 60 sen (270º) j
(0.35 TAC) i + (0.93 TAC) j
(-34.72) i + (19.84) j
(0) i - (60) j
∑F = 0;
Fx = 0.35 TAC - 34.72 + F = 0
Fy = 0.93 TAC + 19.84 - 60 = 0
0.35 TAC + F = 34.72 ----- 1
0.93 TAC = 40.16 --------- 2
Despeje:
TAC = 40.16/.93 = 43.18 lb
Sustitución:
0.35 (43.18) + F = 34.72
F = 34.72 - 15.113
F = 19.607 lb
Diagrama de cuerpo libre:
Haciendo uso de la trigonometría:
α = arc tan 7/4 = 60.25º
β = acr tan 1.5/4 = 20.55º
∑F = 0
F = Fx + Fy
TAC = TAC cos (69.45º) i + TAC sen (69.45º) j
TAB = 40 cos (150.25º) i + 40 sen (150.25º) j
TAE = 60 cos (270º) i + 60 sen (270º) j
(0.35 TAC) i + (0.93 TAC) j
(-34.72) i + (19.84) j
(0) i - (60) j
∑F = 0;
Fx = 0.35 TAC - 34.72 + F = 0
Fy = 0.93 TAC + 19.84 - 60 = 0
0.35 TAC + F = 34.72 ----- 1
0.93 TAC = 40.16 --------- 2
Despeje:
TAC = 40.16/.93 = 43.18 lb
Sustitución:
0.35 (43.18) + F = 34.72
F = 34.72 - 15.113
F = 19.607 lb
viernes, 13 de febrero de 2009
Ejercicio
En la operación de descarga de un barco, un automovil de 3 500 lb es soportado por un cable. Se ata una cuerda al cable A y se tira para centrar el automóvil sobre la posición deseada. El ángulo entre el cable y la vertical es de 15º, mientras que el ángulo entre la cuerda y la horizontal es de 30º. ¿Cúal es la tensión en las cuerdas?
Diagrama de cuerpo libre y Triángulo de fuerzas:
Diagrama de cuerpo libre y Triángulo de fuerzas:
sen 15º/TAC = sen 120º/TCB = sen 45º/3 500 lb
TAC = 1 281 lb
TCB = 4 286.6 lb
TAC = 1 281 lb
TCB = 4 286.6 lb
Problemas relacionados con el equilibrio de una partícula. Diagramas de cuerpo libre
En la práctica, un problema de ingeniería mecánica se deriva de una situación física real. Un esquema que muestra las condiciones físicas del problema se conoce como diagrama espacial.
Los métodos de ánalisis estudiados en las secciones anteriores se aplican a un sistema de fuerzas que actúan sobre una párticula. Un gran número de problemas que tratan de estructuras pueden reducirse a problemas concernientes al equilibrio de una párticula. Esto se hace escogiendo una párticula significativa y dibujando un diagrama separado que muestra a ésta y a todas las fuerzas que actúan sobre ella. Dicho diagrama se conoce como diagrama de cuerpo libre.
Ejemplo:
Considerese el embalaje de madera de 75 Kg mostrado en el diagrama espacial de la figura 2.29a. Este descanzaba entre los edificios y ahora es levantado hacia la plataforma de un camión que lo quitará de ahí. El embalaje está soportado por un cable vertical unido en A a dos cuerdas que pasan sobre poleas fijas a los edificios en B y C. Se desea determinar la tensión en cada una de las cuerdas AB y AC.
Figura 2.29
Para resolver el problema debe trazarse un diagrama de cuerpo libre que muestre a la partícula en equilibrio. Puesto que se analizan las tensiones en las cuerdas, el diaagrama de cuerpo libre debe incluir al menos una de estas tensiones y si es posible a ambas. El punto A parece ser un buen cuerpo libre para este problema. El diagrama de cuerpo libre del punto A se muestra en la figura 2.29b. Ésta muestra al punto A y a las fuerzas ejercidas sobre A por el cable vertical y las dos cuerdas.
La fuerza ejercida por el cable está dirigida hacia abajo y es igual al peso W del contenedor. De acuerdo con la ecuacion (W = m.g), se escribe:
Los métodos de ánalisis estudiados en las secciones anteriores se aplican a un sistema de fuerzas que actúan sobre una párticula. Un gran número de problemas que tratan de estructuras pueden reducirse a problemas concernientes al equilibrio de una párticula. Esto se hace escogiendo una párticula significativa y dibujando un diagrama separado que muestra a ésta y a todas las fuerzas que actúan sobre ella. Dicho diagrama se conoce como diagrama de cuerpo libre.
Ejemplo:
Considerese el embalaje de madera de 75 Kg mostrado en el diagrama espacial de la figura 2.29a. Este descanzaba entre los edificios y ahora es levantado hacia la plataforma de un camión que lo quitará de ahí. El embalaje está soportado por un cable vertical unido en A a dos cuerdas que pasan sobre poleas fijas a los edificios en B y C. Se desea determinar la tensión en cada una de las cuerdas AB y AC.
Figura 2.29Para resolver el problema debe trazarse un diagrama de cuerpo libre que muestre a la partícula en equilibrio. Puesto que se analizan las tensiones en las cuerdas, el diaagrama de cuerpo libre debe incluir al menos una de estas tensiones y si es posible a ambas. El punto A parece ser un buen cuerpo libre para este problema. El diagrama de cuerpo libre del punto A se muestra en la figura 2.29b. Ésta muestra al punto A y a las fuerzas ejercidas sobre A por el cable vertical y las dos cuerdas.
La fuerza ejercida por el cable está dirigida hacia abajo y es igual al peso W del contenedor. De acuerdo con la ecuacion (W = m.g), se escribe:
W = mg = (75 Kg) (9.81 m/s²) = 736 N
y se indica este valor en el diagrama de cuerpo libre. Las fuerzas ejercidas por las dos cuerdas no se conocnen, pero como son iguales en magnitud a la tensión en la cuerda AB y AC, se representan con TAB y TAC y se dibujan hacia fuera de A en las direcciones mostradas por el diagrama espacial. No se incluyen otros detalles en el diagrama de cuerpo libre.
Puesto que el punto A está en equilibrio, las tres fuerzas que actúan sobre él deben formar un triángulo cerrado cuando se dibujan de punta a cola. Este triángulo de fuerzas ha sido dibujado en la figura 2.29c.
Los vectores TAB y TAC de las tensiones en las cuerdas pueden encontrarse gráficamente si el triángulo se dibuja a escala, o pueden encontrarse mediante la trigonometría. Si se escoge el último método de solución, con la ley de senos se escribe:
Puesto que el punto A está en equilibrio, las tres fuerzas que actúan sobre él deben formar un triángulo cerrado cuando se dibujan de punta a cola. Este triángulo de fuerzas ha sido dibujado en la figura 2.29c.
Los vectores TAB y TAC de las tensiones en las cuerdas pueden encontrarse gráficamente si el triángulo se dibuja a escala, o pueden encontrarse mediante la trigonometría. Si se escoge el último método de solución, con la ley de senos se escribe:
TAB/sen 60º = TAC/sen 40º = 736 N/sen 80º
TAB = 647 N ---- TAC = 480 N
TAB = 647 N ---- TAC = 480 N
Cuando una particula esta en equilibrio bajo la accion de tres fuerzas, el problema siempre puede resolverse dibujando un triángulo de fuerzas.
Equilibrio de una Partícula
En las secciones anteriores se expusieron los métodos utilizados para determinar la resultante de varias fuerzas que actúan sobre una partícula. Aunque no ha ocurrido en ninguno de los problemas examinados hasta ahora, es posible que la resultante sea cero. En tal caso, el efecto neto de las fuerzas dadas es cero, y se dice que la partícula está en equilibrio. Entoces se tiene la siguiente definición: si la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre una partícula es cero, la partícula se encuentra en equilibrio.
Una partícula sometida a la acción de dos fuerzas estará en equilibrio si ambas fuerzas tienen la misma magnitud, la misma línea de acción, pero sentidos opuestos. Entonces la resultante de las dos fuerzas es cero.
En otros casos puede que la particula este en equilibrio debido a la accion de varias fuerzas, que sumadas entre si dan cero.
Ejemplo:
F1 = (300 lb) i + (0 lb) j
F2 = (0 lb) i - (173.2 lb) j
F3 = (200 lb) cos (240º) i + (200 lb) sen (240º) j
F4 = (400 lb) cos (120º) i + (400 lb) sen (120º) j
-------------------------------------------------
∑F = (0 lb) i + (0 lb) j
∑Fx = 0
∑Fy = 0
Una partícula sometida a la acción de dos fuerzas estará en equilibrio si ambas fuerzas tienen la misma magnitud, la misma línea de acción, pero sentidos opuestos. Entonces la resultante de las dos fuerzas es cero.
En otros casos puede que la particula este en equilibrio debido a la accion de varias fuerzas, que sumadas entre si dan cero.
Ejemplo:
F1 = (300 lb) i + (0 lb) j
F2 = (0 lb) i - (173.2 lb) j
F3 = (200 lb) cos (240º) i + (200 lb) sen (240º) j
F4 = (400 lb) cos (120º) i + (400 lb) sen (120º) j
-------------------------------------------------
∑F = (0 lb) i + (0 lb) j
∑Fx = 0
∑Fy = 0
lunes, 9 de febrero de 2009
Ejercicio
P2.35
Si la tensión en el cable BC es de 145 lb, determine la resultante de las tres fuerzas ejercidas en el punto B de la viga AB.
Representación gráfica:
Haciendo uso de la trigonometría, (op./hip.) y (adyacente/hip.):
F1 = -100 lb (3 in./5 in.) i -100 lb (4 in./5 in.) j
F2 = 156 lb (12 in./13 in.) i -156 lb (5 in./13 in.) j
F3 = -145 lb (84 in./116 in.) i + 145 lb (80 in./116 in.) j
--------------------------------------
F1 = -(60 lb) i - (80 lb) j
F2 = (144 lb) i - (60 lb) j
F3 = - (105 lb) i + (100 lb) j
R = ∑F = -21 i - 40 j
| R | = √(-21)² + (-40)²
R = 45.17 lb
Si la tensión en el cable BC es de 145 lb, determine la resultante de las tres fuerzas ejercidas en el punto B de la viga AB.
Representación gráfica:
Haciendo uso de la trigonometría, (op./hip.) y (adyacente/hip.):F1 = -100 lb (3 in./5 in.) i -100 lb (4 in./5 in.) j
F2 = 156 lb (12 in./13 in.) i -156 lb (5 in./13 in.) j
F3 = -145 lb (84 in./116 in.) i + 145 lb (80 in./116 in.) j
--------------------------------------
F1 = -(60 lb) i - (80 lb) j
F2 = (144 lb) i - (60 lb) j
F3 = - (105 lb) i + (100 lb) j
R = ∑F = -21 i - 40 j
| R | = √(-21)² + (-40)²
R = 45.17 lb
sábado, 7 de febrero de 2009
Adición de fuerzas sumando sus componentes X y Y
Cuando se van a sumar tres o más fuerzas, no puede obtenerse una solución trigonométrica práctica del polígono de fuerzas que define a la fuerza resultante. En este caso puede obtenerse una solución analítica del problema si se descompone cada fuerza en sus elementos rectangulares. Considerese, por ejemplo, las tres fuerzas P, Q y S que actuan sobre una partícula A (figura 2.25a). Su resultante R está definida por la relación
R = P + Q + S
Si se descompone cada fuerza en sus componentes rectalgulares, se escribe
Rxi + Ryj = Pxi + Pyj + Qxi + Qyj + Sxi + Syj
= ( Px + Qx + Sx) i + (Py + Qy + Sy) j
de donde se tiene que
Rx = Px + Qx+ Sx ----------------- Ry = Py + Qy + Sy
o, en forma breve,
Rx = ∑Fx ------------------ Ry = ∑Fy
Por tanto, se puede concluir que las componentes escalares Rx y Ry de la resultante R de varias fuerzas que actúan sobre una partícula se obtienen separando de manera algebraica las correspondientes componentes escalares de las fuerzas dadas.
Ejemplo:
Cuatro fuerzas actúan sobre un perno A como se muestra en la figura. Determine la resultante de las fuerzas sobre el perno.
R = ∑ F
F1 = 150 cos (30º) i + 150 sen (30º) j
F2 = 80 cos (110º) i + 80 sen (110º) j
F3 = 110 cos (270º) i + 110 sen (270º) j
F4 = 100 cos (345º) i + 100 sen (345º) j
F1 = 130 i + 75 j
F2 = -27.3 i + 75.17 j
F3 = 0 i - 110 j
F4 = 96.55 i - 25.88 j
R = ∑F = (199.25 N) i + (14.29 N) j
| R | = √(199.25)² + (14.29)²
R = 199.76 N
< º = tan-¹ (opuesto/adyacente)
= tan-¹ (14.29/199.25)
<º = 4.1º
Ejemplo:
Cuatro fuerzas actúan sobre un perno A como se muestra en la figura. Determine la resultante de las fuerzas sobre el perno.
R = ∑ F
F1 = 150 cos (30º) i + 150 sen (30º) j
F2 = 80 cos (110º) i + 80 sen (110º) j
F3 = 110 cos (270º) i + 110 sen (270º) j
F4 = 100 cos (345º) i + 100 sen (345º) j
F1 = 130 i + 75 j
F2 = -27.3 i + 75.17 j
F3 = 0 i - 110 j
F4 = 96.55 i - 25.88 j
R = ∑F = (199.25 N) i + (14.29 N) j
| R | = √(199.25)² + (14.29)²
R = 199.76 N
< º = tan-¹ (opuesto/adyacente)
= tan-¹ (14.29/199.25)
<º = 4.1º
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